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隐含调用,用红色下标a替换了原作上标an

2019-08-26 00:39

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今日学院:暂无。||符号大全、上下标.|| 常用:↑↓←→π ΓΔΛμφΣ∈ ∪ ∩⊆ ⊇ ⊂ ⊃≤ ≥ ≠⁻⁰¹ ² ³ᵈ₀ ₁₂₃ᵢ .

今日学院:暂无。||新闻 ||符号大全、上下标.|| 常用:↑↓ π ΓΔΛμφΣ∈ ∪ ∩⊆ ⊇ ⊂ ⊃≤ ≥ ≠≃⁻⁰¹ ² ³ ᵈxi₀ ₁₂₃ᵢₐ.

今日学院:暂无。||新闻 ||符号大全、上下标.|| 常用:↑↓ π ΓΔΛΘΩμφΣ∈∉∪ ∩⊆ ⊇ ⊂ ⊃≤ ≥⌊ ⌋⌈ ⌉≠⁻⁰¹ ² ³ᵈ₀ ₁₂₃ᵢₐ.

今日学院:暂无。||新闻 ||符号大全、上下标.|| 常用:↑↓νπ ΓΔΛΘΩμφΣ∈∉∪ ∩⊆ ⊇ ⊂ ⊃≤ ≥⌊ ⌋⌈ ⌉≠⁻⁰¹ ² ³ᵈ₀ ₁₂₃ᵢₐ.





(接前:272524) 命题5.5的证明.

数学的困难在于,人们总想在5分钟内弄明白一个定理.

如何解决数学证明中的“隐含调用”问题 ?

通过压缩凸显主线.

By Lemma 2.20, there exist analytic neighbourhoods U and V of x and z, respectively, such that πₐ|Uinduces an analytic isomorphism between the analytic pairs (U, Bₐ|U) and (V, Cₐ|V).

(接前:020127) 命题5.5*的证明.

(接前:040302) 命题5.7的证明.

(接前:090807)温习:命题5.7的证明.

注:方便起见,用红色下标a替换了原作上标an.

Step2. 第三段.

Step6. 第二段 .

---- 逻辑主线:取 |A| 中一般成员 H, 使|H在 xH附近 lc, 并以 TG作为 lc place, 且 a≤1. 则由归纳,TG在ν*L|G中的系数有上界,蕴含T在ν*L中的系数有上界.

评论:这里调用了引理2.20*. 图解:

Since the above sequence starts with blowing up x, and since (U,Λₐ|U) and (V, Θₐ|V) are analytically isomorphic, the sequence corresponds to a sequence of blowups W = Zl--> ... --> Z0 = Z which is the sequence of centre blowups of R, the exceptional divisor of Zl--> Zl-1.

Since π is an isomorphism over the complement of finitely many closed points, Supp D does not contain any positive-dimensional stratum of .

---- 技术要点:1. 构造xH:=g[H∩C]; 2. 构造TG:=[G∩T], 其中 G 是 H 的像 .

π: x --> z 单点

注:这里用下标a 代替了原作的上标an.

---- 前半句 complement 是指从 X 中排除闭合点.

---- 前提条件:1. 假定 x 非闭, C 是 x 的闭包. 2. 设ν: U --> X 以 T 为 divisor.

U-->V 局部

评论:局部解析同构蕴含像空间的blowups序列.

(这些闭合点是有限多个).

---- 高观点:配对为 “方”,log resolution 为 “法”.

X-->lPᵈ空间

---- 序列末端记作 W; R是 exceptional divisor.

---- 后半句讲 Supp D,即 D 取代了 B 的地位.

评论:“? 在 ? 中的系数有上界” 可缩写为 “?方”. 比如,TG方==>T方.

B-->C 边界

The latter sequence starts with blowing up z and it is toroidal with respect to , hence a = 0.

---- 后半句表明, D 已经接近了理想中的 B.

加评:Step1 的逻辑主线可压缩为:吝。局盘,方。

Λ -->Θ 边界2

---- 像空间中的 blowups 序列始于 z,并且关于 是 toroidal 的. 由此 a = 0 .

注:从Step4 开始,原作转向修改 B,使得 Supp B 不含 的 x 以外的任何 stratum. 所谓“修改”,是要找到能够替换 B 的 divisor (最终目的是为了“套用”命题5.5).

Step2(格格。胄越相,通。)

---- U 和 V 分别是 X 和 lPᵈ的子集.

注:以上是就的像而言.

On the other hand, sinceD ~R1/t(Kx B 3dA) Band since A - B is ample, there is a natural number m depending only on d, r, t such that mA - D is ample.

---- 逻辑主线 1: ==> .

---- 设想 U 和 V 是原像与像的关系.

On the other hand, since (U, Bₐ|U) and (V, Cₐ|V) are analytically isomorphic, we get a = a≤1.

---- Step5末尾有:

(文格 ==> 武格,可略为“格格”).

---- 先从 分出个局部配对 .

---- 局部解析同构保持 a 值.

H ~R1/t(Kx B 3dA); D = H B.

注1:“相”之“方”包含两点:1. nΛ 整系数; 2. A xΛ <r.

---- 显然,X|U= U. 局部配对为.

注:以上是就的像而言.

---- 把 H 的等价关系代入后者,即得前半句.

(“直观”起见,用A xΛ 取代 degAΛ).

---- 也可以理解为|U.

Note that we cannot simply replace X, B, Λ with Z, C, Θ because we do not know whether is eps-lc away from z.

(前半句猛一看会懵,上回专门分析了这种“突兀体”及应对办法).

注2:“甲” 即 very ample & non-negative. “胄” 指E.

---- X 和 lPᵈ是原像与像的关系.

评论:这句话本身的意思很清楚.

---- 但后半句仍不明所以.

注3:下标s 提示 Supp 操作.下标sb 提示E = Supp:=sb.

---- B 和 C 也是原像与像的关系.

---- 不清楚的是说这句话的来由.

(应该不难,只是暂时看不出).

(丞相戴头盔,傻逼了).

---- 合理设想 与 (lPᵈ, C) “继承”上述关系.

小结:Step2的内容完结.

小结:Step6 读写完毕.

注4:“格”指有界族.

---- 之前把原像配 局部化到 X 的 子 集U.

温习:第二段是从 T 的中心 x 出发,引出 blowups 序列 Xl-->...-->X1 --> X0 = X,并且将 T 做为最后一个blowup 的exceptional divisor.

Leonhard EulerCarl Friedrich GaussGrothendieck

(凡事达到“方”,就到头了).

---- 同样,像配 (lPᵈ, C) 局部化到lPᵈ的子集V.

  1. x 是 T 在 X 上的 centre,并且是配对 的 “lc centre” 和 “stratum”.

  2. 由此引出 沿着 T 的中心的 X 的 blowup:X1 --> X0 = X.

  3. 写出配对 的运算形式Kx Λ,做个“回拉” Kx1 Λ1.

  4. 由 2,3 得到配对 ,它继承了 的属性 “log smooth” 及 “induced boundary”,并额外多含了个exceptional divisor.

  5. 巧合地, T 在 X1的 centre 是 的“lc centre”, 从而也是 的 “stratum”.

  6. 由此引出 沿着 T 的中心的 X1 的 blowup. 以此类推.

  7. 这样就得到开头的概述. 而且,所得的 blowups 序列 关于 是 “toroidal”.

Glossary

Abstract8/4

Introduction

Boundedness of singular Fano varieties 8/5

Boundedness of singular Fano varieties 8/6

Boundedness ofsingularFano varieties 8/7

Boundedness ofsingularFano varieties 8/8

Boundedness ofsingularFanovarieties 8/9

Boundedness ofsingularFanovarieties8/9

Jordan property of Cremona groups8/10

Lc thresholds of lR-linear systems 8/11

Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/12

Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/13

Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree 8/14

Complements near a divisor8/15

.Proposition 5.211/9

Proposition 5.5. 11/5

---- 逻辑主线 2:Eω=Λw, 而 T 是 的 lc place.

---- 于是,可写出或(lPᵈ, C)|V.

评论:在上述演化中,T 是不变量,它的中心可能随着 Xᵢ而变,但中心的属性不变,配对的属性也不变.

---- 技术要点:lc==>Λw≤E==> 0 = a≥a)≥0.

注:上述图解先前只画了黑色部分是,绿色部分写完评论后补上去的.

centre ~ (Xᵢ,Λᵢ)

(下标lc提示局部. 后半部推导可略为 “胄越相,通”).

又注:原作有些符号带有上标an,该是提示“解析”属性. 待考.

注:T 的 centre 是(Xᵢ,Λᵢ) 的 “lc centre” 和 “stratum”,这是触发 blowup 的 “轴心”.(配对的属性起到什么作用?也许是blowup的基础条件?) .

注5:由粉和紫公式得:sbω=Λw.

评论:粗略地说,单点关系引出局部关系,再将全空间配对“局部化”.

特注:blowup 之后,要有个“回拉”的动作,才得到新的配对.

注6:对比粉和蓝公式:Λw≤Eω=Λw.

---- 局部化会带来什么好处?

Leonhard EulerCarl Friedrich GaussGrothendieck

评论:T 有“贯通性”或“穿越性”(作为 lc place).

In particular, is eps-lc near z.

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Abstract8/4

Introduction

Boundedness of singular Fano varieties 8/5

Boundedness of singular Fano varieties 8/6

Boundedness ofsingularFano varieties 8/7

Boundedness ofsingularFano varieties 8/8

Boundedness ofsingularFanovarieties 8/9

Boundedness ofsingularFanovarieties8/9

Jordan property of Cremona groups8/10

Lc thresholds of lR-linear systems 8/11

Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/12

Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/13

Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree 8/14

Complements near a divisor8/15

.Proposition 5.211/9

Proposition 5.5. 11/5

Leonhard EulerCarl Friedrich GaussGrothendieck

---- 意思是,配对的像在局部保持 eps-lc.

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Introduction

Boundedness of singular Fano varieties 8/5

Boundedness of singular Fano varieties 8/6

Boundedness ofsingularFano varieties 8/7

Boundedness ofsingularFano varieties 8/8

Boundedness ofsingularFanovarieties 8/9

Boundedness ofsingularFanovarieties8/9

Jordan property of Cremona groups8/10

Lc thresholds of lR-linear systems 8/11

Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/12

Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs 8/13

Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree 8/14

Complements near a divisor8/15

.Proposition 5.211/9

Proposition 5.5. 11/5

---- 这就是好处了(eps-lc 是主配对的关键性质).

注:Z 是指代lPᵈ(即 X 的像,见Step1第二段*).

Let Θ:=ΣHᵢ.

----Hᵢ是 Sᵢ的像. 这样Θ指代 Λ 的像.

---- 原作倾向于用到时才给出符号.

Since π*Hᵢcoincides with Sᵢnear x, we also have an analytic isomorphism between (U,Λₐ|U) and (V,Θₐ|V).

注:红色下标见第一句注.

----Λ 和 B 一样,是配对的“边界”.

---- 此句是对 及其像引入局部化.

---- 类似于对 及其像 所做的.

评论:参前述图解(粉色部分是刚添加的).

临时:刚忽然想到,“coincide” 该是“好”的关系.

---- “好” 是指变换后保持好的性质,或带来好处.

(借助上下文猜测陌生概念的含义要比直接查书有意思得多).

Moreover, each stratum of passes through z and each one is the image of a stratum of passing through x.

---- 之前是局部性质,这里转向整体性质.

---- 或者说,通过局部刻画整体.

---- x 和 z 象联通两个空间的虫洞!

---- 之前误以为 stratum 是某种 “点”,现在可以看出它是某种几何对象.

Thus Supp C does not contain any stratum of , except possibly z...

---- 上一句指出,stratum 的关系能够保持.

---- 这一句指出 “禁” 的关系也能保持.

(所谓“禁”,是指配对以外的第三个对象取Supp 不包含配对的“stratum”)

---- stratum 标签为“宝”. 宝和禁总是相连的.

Indeed, if Supp C contains a stratum I, then there is a stratum J of passing through x which maps onto I...

---- 为了证明, 像空间里假设有 stratum, 记作 I.

---- 并且它包含在 Supp C 中.

---- 则原像空间中有对应的 stratum, 记作 J.

---- 并且 J 穿过 x. .

...by the above analytic isomorphisms, Jₐ|U⊆Supp Bₐ|Uwhich implies J⊆Supp B, hence J = x and I = z.

---- J 穿过 x. 则至少 J 的一部分在 x 的解析领域内.

---- 但Jₐ|U⊆Supp Bₐ|U怎么来的,看不懂..

(看不懂是因为并没有 x∈Supp B的假定).

---- 此句大意:局部包含,则整体包含.

---- 须弄懂 stratum 与 局部化的关系 .

评论:最后一句的证明分成了三行来评论,大思路是:假设有stratum 含于SuppC,则它必定是 z.

小结:由单点引出解析领域,两组配对可解析地限制到上面. 这件事在原像空间和像空间都发生了,而且两边是解析同构的. 对于主配对的像,eps-lc 保持;对于新配对的像,“禁”的关系保持. 此命题中,只考虑新配对的stratum.

温习:Step1的重点在第一段.要点:

  1. 从Λ 中移除不经过 x 的分量,可假设Λ =ΣSᵢ.

2.Λ 关于 A 的度有界,蕴含 属于有界族.

---- 后果:用有界“multiple”替换A,可假定 A - Sᵢvery ample.

注:以上两点对应命题5.2*的附加1和附加3.

注:Step1第二段是调用命题5.2.

Leonhard EulerCarl Friedrich GaussGrothendieck

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Boundedness of singular Fano varieties 8/6

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Boundedness ofsingularFanovarieties 8/9

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Complements near a divisor8/15

.Proposition 5.211/9

Proposition 5.5. 11/5

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